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教科书讲得太复杂,学微积分只需要一个案例

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出品公众号:“SELF格致论道讲坛”(ID:SELFtalks),作者:林群,中国科学院院士,原标题:《教科书把简单的东西讲得太复杂,学微积分只需要一个案例》,头图来源:东方IC


“我们在学习时很忌讳不讲发明,只讲证明;不讲道理,只讲定理。所以我希望数学文化发生改变,变成讲道理的学问,变成讲发明的科学。”


聊聊各个阶段的数学


林群:各位听众,今天很有幸能跟各位谈论一点有关数学的事情。


数学知识太多了,我们不可能统统掌握,所以只能在众多的数学分支里面,挑选那些最重要的进行学习。


什么是最重要的呢?比如说我们小学学的算术,那是人类几万年智慧的结晶。小学念完念中学,中学是简单的代数,也相当于算术的发展,还有一些初等的几何学,这是人类几千年的智慧结晶,所以我们要学。


中学念完念大学,大学学什么呢?大学主要学微积分和线性代数,这个是人类几百年探索的结果。


总而言之,人类留下的财富需要我们站在巨人的肩膀上来吃透它,消化它。所以我们必须学习,否则就要回到黑暗中重新探讨,那太可怕了。


我想引用哈佛大学数学系教授邱成桐的讲话。听说他经常告诫学生,“要学好微积分和线性代数,归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。”


所以,我们学习必须有重点,不能够铺开学,太多了,反而学不好。“多则少”,你想学很多,你得到很少;反过来“少则多”,如果你学得很少,比如你就学一点小学数学,学一点中学数学,再学一点大学数学,大学数学就是指微积分和线性代数,这些学习内容对我们的一生都是非常有助益的。


我再重复一遍,多则少!大家不要什么都学,不要学得很多,也不要做很多。现在有各种活动吸引我们,但是我觉得对于学习来说,这些只能起到辅助的作用。


最重要的还是在课堂上学习,把正课学好。把小学的数学,最简单的算术学好,把中学数学最简单的代数和几何学好,把大学的数学学好,就是把微积分和线性代数学好,这是最重要的。


然后,在接下来的工作中再发展,继续学习,因为学无止境。这是第一点意见,供各位家长和学生参考。


怎样学习数学


怎么学习数学呢?数学太难了,我是最怕数学的,我们一家人都怕数学,我认识很多朋友,包括各种各样工作场合,都最怕数学。


所以数学怎么学,是我很苦恼的问题。我是经常在心里面思考这个问题的。


刚才我说了,邱成桐先生认为,微积分是一切高级数学的基本功。但是,微积分怎么学呢?你翻开一本教课书,讲解微积分要用好几百页。


我从50年前就开始学微积分了,但是看一些教课书,我看得晕头转向,讲的内容太多了。


许多教科书很烦琐,大家要警惕。所以我们要把微积分学好,不是读万卷书,不是走万里路,而是尽量“投机取巧”。


我认为学微积分跟学别的数学一样,“假传万卷书,真传一案例”,把一个案例学好,你就把整个微积分的精神掌握了。


学习微积分用什么案例呢?应该用我们平常生活里经常见到、经常用到的案例。


比如我们经常坐高铁,高铁车厢里头有一个标志显示当前的时速是多少,也就是一小时走多远。速度就是路程除以时间。


我们经过天津站的时候,就显示时速多少,经过大连站时也会显示时速多少。时速是什么意思呢?就是指某一时刻的速度,某一时刻的速度是什么意思?


你看,那个时刻不动,时间等于零,没有时间,火车不能运行,所谓当时的速度,你仔细想想,是一个0除以0的问题,没有时间,就没有路程。那么路程比时间,速度就是0比0。0比0的问题是很严重的,使得牛顿这样的大物理学家都觉得伤脑筋。


但是牛顿很聪明,他想出了办法计算瞬时速度。他设想,火车在很短的时间里,走过很短的距离,因为时间很短,火车没有时间加速,所以它的瞬时速度应该是可以这么计算的,把它变换成一个在很短的时间里面走过的很短路程。


微积分说明书


大家好好想想看,时间很短,火车没有时间加速,所以,速度只有很小的变化,用这个办法来计算,我这里写的,小路程,由x点跑到x+h点,很短的时间内,瞬时速度变化很小,因为没有时间变化,时间太短了,瞬时速度很小。


瞬时速度+小变化,再乘以短时间,小路程是这么算出来的,小路程是瞬时速度+小变化,然后再乘以短时间。把它分开,小学的算术学过了,(A+B)×C=A×C+B×C,瞬时速度×短时间+小变化×短时间,时间缩短以后,小变化就很小,基本上被消灭掉。


全路程就是小路程加起来,小路程加起来是什么意思呢?就是瞬时速度×短时间,加起来,再加上小变化×短时间,短时间加起就是总时间。


比如说北京到上海是一小时,一小时就是总时间。总时间是固定的,比如说一小时,总时间乘以小变化还是很小,因为时间是固定的,时间不变,就是一小时,乘以小变化,还是小变化。


总而言之,全路程是瞬时速度乘以短时间相加,再加上小变化乘以总时间,小变化乘总时间还是小变化,因为总时间是固定的。


比如说一小时,小变化乘一小时,还是小变化。通常是这样,如果瞬时速度不断走,短时间加起来,积累得很多,就是积分了。这个是等于把小学、中学的数学,到大学换了一个名词。


小学的数学跟大学的数学、初等数学和高等数学,本质的区别不大,但是要换一个称呼,把原来的相加变成积分了。


这样的话,就变成一个速度×时间的积分,然后加上小变化×总时间。如果时间不断缩短,小变化就没有了,整个就是速度×时间的积分,也就是路程是速度×时间的积分。这样子就是大学微积分的制高点了,有了这个制高点就好办了。


以火车的瞬时速度为案例讲这么多,是希望把整个微积分展开在你面前,面对案例要认真分析,认真思考,看以下附录。












从小朋友到年龄大一点的人,都应该把瞬时速度作为我们的思考题,在某一时刻,火车的速度究竟是多少?某一时刻,时间没有变化,速度等于路程除以时间,某一时刻,如果时间没有变化,路程还是那个路程,所以速度应该是0比0。


但是牛顿很聪明,把这个问题变通了,最后变成瞬时速度+小变化,再乘以短时间,后面的演算是比较简单的,这样微积分就掌握了。


我强调一下,“假传万卷书,真传一案例”,所以我们要找真传,不要读很多书。很多人认为应该“走万里路,读万卷书”。


我的经验不是这样的,因为我是很笨的人,我读书读得很慢,不可能读万卷书。我读一本书就满头大汗,读几年都读不懂,最后才发现上当了,原来真传只有一个案例。今天要讲的就是从哲学的角度来讲学习方法,你们要记住:假传万卷书,真传一案例。


我想再说一说,我们现在教科书有很大的问题。容许我批评一点,我们的教科书把简单的东西讲得很复杂。能够通过一个案例说清楚的,不讲案例,却讲怎么证明,怎么推导定理,这就是假话。


事实上,证明是靠发明的,定理是靠道理的,所以我们首先应该给学生讲道理,讲发明,而不是讲定理,讲证明。


当我们把道理弄清楚了,多数情况下证明自动就弄清楚了。比如说刚才讲的微积分,把火车瞬时速度的案例搞清楚,证明两行、三行,最多四行就出来了。


现在书上不讲道理,现在的教科书证明刚才这样的一个定理就是一本书。我们在学习时很忌讳“不讲发明,只讲证明;不讲道理,只讲定理”。


所以我希望数学文化发生改变,变成讲道理的学问,变成讲发明的科学。


其实据介绍说,牛顿是三一学院里的平凡学生,当时伦敦出现瘟疫,他逃到乡间,在乡间思考,苹果打到头上发现了万有引力定律。


不管故事是否真实,但是说明了一个问题,只有在乡间,不在学校里面,不过忙碌的生活,思考才能做出创造。


现在我们的活动太多了,没时间思考。你看小学生参加多少活动、竞赛,中学生的活动更多。


家长要改变自己的做法,让孩子有闲暇的时间,在树下散散步,在湖里游游泳,让他们去思考,去发明,不要整天考试。


考试是一个机器,我也接触了个别的考试能手,我非常佩服他们,他们做题比我快得多,一眨眼就做出来了,但是他们不知道在做什么题。


所以家长们最好不要希望孩子一个个都是考试能手,应该让孩子过平常的生活。天天都可以考试,你从小学考起,中学也考,大学也考,我进大学就考了一百题,一天考一百题。


所以考试很平常,没什么了不得,让他去考,考得好,考不好都不要紧。牛顿之后最伟大的科学家是爱因斯坦,爱因斯坦大学毕业的时候成绩不算好,在专利局做三级科员。


就是这样一个三级科员,一个在大学学的很差的平凡学生,结果做出很大成就。因为他会思考,他反对不思考就进行推理,反对不思考就进行证明,这让他成为继牛顿之后最伟大的科学家。


我们希望各位同学都应该把自己看作一个平凡的人,看作是三级科员,看作是很差的学生,但是我们有正确的学习方法,我们知道案例学习,我们一个案例顶万卷书,这样的话效率其实是很高的。


所以我今天就讲这些,希望一个案例顶万卷书,希望大家学得少,学得好,千万不要图多,嚼不烂,结果什么都懂,又什么都不懂。


一个很有名的故事,一个牧师在布道,牧师越讲越激动,可是观众一片睡着了,我希望你们没有睡着,那就是成功了,谢谢大家!


主持人:非常感谢林老师精彩的报告,如雷贯耳,现在和现场观众朋友们进行互动。


林群:我再补充一句,为了防止很多人攻击我,我首先说,我自己就不懂得数学,我自己学得很差。说实在话,我们这些人都没有成就,哪些人有成就呢?


比如屠呦呦的成就可能很多人都想不到,我相信屠呦呦的智商并不一定很高。我不认识她,我觉得她可能是很平常的人。可是她一辈子钻研了一件事情,少则多,她只做一件事,研究中药——青蒿素。


就这一件事情救了非洲多少万人,这就是她的贡献。谁伟大?还是屠呦呦伟大。BBC选出100年来最伟大的三位科学家,就是爱因斯坦、图灵和屠呦呦”。


与观众互动


主持人:接下来进入一个互动的环节,在场的选两个问题,一个小朋友,一个家长,谁想提问,举手。


观众1:现在这个社会,我认为是比较注重考分的,很多大学,他们都是以考分为准。在工作方面,很多公司也是要看你是从哪个大学毕业。虽然我非常赞同您的观点,数学确实应该去多思考,不应该那样死板。考试那些东西没用,但是对于现在这个社会,还是以考分为主,您对此持什么观点?


林群:最近大家都经常讲到考试的问题,我觉得这个不重要。刚才说的奥赛冠军,当然很厉害,比我不知道厉害多少,我做一年,他可能一下子就做完了。


要知道,他是一个解题能手,但是他没有提出问题的能力,有什么用处呢?你给他这个题做,他给你做,但是他没有想法,所以不要羡慕这些人。


我自己认为,屠呦呦是我们的榜样,玩青蒿素玩了一辈子,玩出了诺贝尔奖。


你说她是天才吗?她是神童吗?所以我们家长要求太低了,就要求孩子考得好,可以找到好职业,这算什么呢?考得好,好职业算什么,真的有贡献的人,就不能仅仅靠考试。


考试很平常,考试没什么的,我告诉你,我进大学,一天考一百道题,考好又怎么样?现在谁问你考多好?


我们很值得追查屠呦呦这个人的经历,究竟她小学、中学、大学学得怎么样,我相信对我们会带来鼓励。


普通人都能学好数学,普通人都有贡献,只要有屠呦呦那样的精神。能做出贡献的不是那些“才子佳人”,我觉得那些都靠不住。


主持人:谢谢,我理解林老师说数学这个东西,普通人只要努力用功就能学好,考100分算不了什么,要有更远大的目标。


林群:考100分不算什么,要求不能太低。比如说我进厦门大学的时候,一天做100题,你就考了100分又算什么?


我后来进中科院,到现在没做什么好工作,我敢这么说自己,我都看不上自己,因为我没有屠呦呦那样的精神。


只是我年纪大知道已经晚了,屠呦呦年轻时就找到了正确的方向。她看中了中草药,最后成功了。


所以家长对你们的孩子,要求要更高,一定不能说仅仅要考得好,找到好职业就行了,好职业算什么?


我们中国还有一个世界名人,研究《三体》中数学问题的数学家,在世界范围内都很有影响力,大家都认为他是非常了不起的榜样,可是他是一个来自山西的很普通的学生。他的生活也很普通,职业也一般,但是他做得很好。


我们在很好的地方,我1956年就在中科院,多好的地方,可是我做出什么成绩来,我看到他,觉得差太远了。像我这样的人,在科学上根本不值一提,为什么呢?家长们,一定要要求高,不能只要求孩子考得好,找到好职业。


主持人:应该再狠一点,不能仅仅要求他们100分。


林群:对,我再讲一个。我们都很关心人大,人大开完会,选出很多部长。你看看部长的经历,大部分是从基层出来的,这才是真正的人才。


部长是国家栋梁,大部分人都是小学念得很普通,在农村一步步成长的,然后从科员、科长慢慢锻炼出来,这才是中国真正的人才。


主持人:给大家解释一下,林院士是30后,1935年出生的,跟我爷爷年纪差不多。


林群:我比他爷爷大得多了,我84岁。


观众2:林院士好,主持人好!大家的掌声已经说明了对您的观点的认可,但是在数学上,否定一件事情比肯定一件事情容易很多。


我的问题是,现在的评价制度,或者说分数的评价制度是不好的。我们要引导孩子们去思考,养成思考的习惯或者思维方式,但是我们到底应该怎么做呢?


主持人:您觉得有没有什么更好的方式,比现在的制度更适合我们目前的状况的?


林群:对于这个问题,我是没有经验的,但是我觉得,家长要对孩子管得严,还是应该强调成绩的。


比如说我知道国外一些学生,他们怎么教育孩子呢?他们觉得孩子喜欢什么,就应该鼓励他们做什么。结果这些孩子都去念动物学,因为孩子爱狗,爱猫。


如果孩子喜欢猫,我们家长就让他念猫学,喜欢狗就念狗学,喜欢动物,就去念动物学,都去做动物学,行吗?别的行业谁做呢?


我们中国的家长,让孩子把小学、中学、大学念好,这是基本功,把这个念好,做什么都可以。


不能置之不理,让孩子自动放弃他的教育。小孩不懂学习的重要性,你不逼他,他就无法全面发展,所以还是要“逼”小孩念书。


只是说,要对小孩要求高一点,要让他思考,不能满足于他考得好,得一点小奖,不能满足于这些雕虫小技。


但是这些很难做到,我们每个人都希望孩子受最好的教育,孩子受最好的教育,不一定能培养出好科学家。


听说过去有一个高考状元,结果去当和尚,当和尚不是不好,但是说明他的发展有限。你学再好有什么用处,最后你没有对社会有贡献。


而像屠呦呦这样的人,对社会贡献非常大,我相信她学得不一定最好,但是她研究青蒿素就能成功。


本文出品自“SELF格致论道讲坛”公众号(SELFtalks),作者:林群,中国科学院院士

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